Corrigé du TD – Redressement Monophasé

I. Analyse du Redresseur sur Charge Purement Résistive

La première configuration analytique repose sur l’étude d’un pont de quatre diodes débitant sur une charge purement résistive de valeur $R = 20 \, \Omega$. Cette topologie fondamentale permet d’isoler le comportement de commutation du pont sans les effets transitoires liés aux composants de stockage d’énergie.

1. Modélisation Temporelle de la Source d’Alimentation

La tension d’entrée du montage de redressement, notée $V_e(t)$, est directement issue de l’enroulement secondaire du transformateur. Les spécifications nominales indiquent une valeur efficace de la tension secondaire $V = 24 \text{ V}$ et une fréquence de $f = 50 \text{ Hz}$.

En électrotechnique, l’expression mathématique temporelle d’une tension sinusoïdale de référence s’écrit formellement en fonction de son amplitude maximale (ou valeur crête) $V_{max}$, de sa pulsation $\omega$, et de sa phase à l’origine $\varphi_0$. En considérant cette tension comme la référence absolue des phases pour l’ensemble du système, la phase à l’origine est nulle ($\varphi_0 = 0$).

La pulsation $\omega$ est directement liée à la fréquence du réseau par la relation $\omega = 2\pi f$. Par substitution, la pulsation s’établit à $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$. L’amplitude maximale $V_{max}$ se déduit de la valeur efficace par la multiplication par la racine carrée de deux, caractéristique des signaux purement sinusoïdaux : $V_{max} = V\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \approx 33,94 \text{ V}$.

Par conséquent, l’expression temporelle rigoureuse de la tension d’entrée s’établit comme suit :

La représentation graphique de cette fonction sur un chronogramme décrit une sinusoïde parfaite. La période complète du signal est $T = \frac{1}{f} = 20 \text{ ms}$. La fonction franchit l’axe des abscisses (passages par zéro) à chaque demi-période, soit aux instants $t = 0 \text{ ms}$, $t = 10 \text{ ms}$, $t = 20 \text{ ms}$, etc., alternant entre des phases de polarité positive et négative.

2. Dynamique de Conduction des Diodes Idéales et Allures des Grandeurs de Sortie

Pour établir les principes fondamentaux de la conversion, l’hypothèse de composants idéaux est initialement adoptée. Une diode idéale se comporte comme un interrupteur parfait, caractérisé par une tension de seuil nulle, une résistance dynamique nulle à l’état passant, et un courant de fuite nul à l’état bloqué, avec des temps de recouvrement instantanés. Les diodes sont numérotées $D_1$ à $D_4$ selon la topologie standard du pont de Graëtz, où $D_1$ et $D_4$ forment une diagonale de conduction, et $D_2$ et $D_3$ forment la seconde.

Durant la première demi-période ($0 \le t \le \frac{T}{2}$), correspondant à l’alternance positive, la tension $V_e(t)$ est strictement supérieure à zéro. Le potentiel de l’anode des diodes $D_1$ et $D_4$ est supérieur au potentiel de leur cathode, les polarisant en direct. Ces deux composants entrent en conduction simultanée, agissant comme des courts-circuits parfaits. Inversement, les diodes $D_2$ et $D_3$ subissent une polarisation inverse et se comportent comme des circuits ouverts. Le circuit achemine la tension d’entrée directement aux bornes de la charge, d’où $V_s(t) = V_e(t)$.

Durant la seconde demi-période ($\frac{T}{2} \le t \le T$), correspondant à l’alternance négative, la tension $V_e(t)$ devient strictement inférieure à zéro. La polarité s’inversant, les diodes $D_1$ et $D_4$ sont bloquées. Les diodes $D_2$ et $D_3$ se retrouvent alors polarisées en direct et entrent en conduction. La particularité du croisement des connexions dans le pont PD2 force la tension négative de la source à s’appliquer de manière inversée sur la charge. Ainsi, la tension de sortie s’écrit $V_s(t) = -V_e(t)$.

En combinant ces deux comportements, la tension de sortie correspond mathématiquement à la valeur absolue de la tension d’entrée :

La loi d’Ohm, régissant le comportement de la charge purement résistive, impose une proportionnalité stricte et instantanée entre la tension appliquée et le courant traversant le récepteur. Le courant de sortie s’exprime par :

Le chronogramme résultant pour $V_s(t)$ et $i_s(t)$ révèle une forme d’onde redressée à double alternance. Cette forme est constituée d’une succession ininterrompue d’arches de sinusoïdes strictement positives, illustrant la fonction unidirectionnelle du convertisseur.

3. Reconstitution de l’Allure du Courant d’Entrée

Le courant d’entrée $i_e(t)$, fourni par l’enroulement secondaire du transformateur, traverse le réseau de diodes en respectant les sens de conduction dictés par la topologie. L’analyse nodale du pont démontre que le courant de ligne est directement lié au courant de charge, mais son signe dépend de la paire de diodes active.

Lors de l’alternance positive, le courant circule de la borne positive de la source vers la charge à travers $D_1$, puis retourne à la source via $D_4$. Dans cette phase, le courant d’entrée est identique au courant de sortie : $i_e(t) = i_s(t)$.
Lors de l’alternance négative, le courant sort de la borne désormais positive (anciennement négative) de la source, traverse $D_3$, alimente la charge dans le même sens que précédemment, puis retourne via $D_2$. Du point de vue des bornes d’entrée du pont, le courant circule dans le sens opposé. Ainsi, $i_e(t) = -i_s(t)$.

La combinaison de ces deux phases démontre que le courant d’entrée $i_e(t)$ reconstitue une onde sinusoïdale complète, parfaitement en phase avec la tension d’alimentation $V_e(t)$. L’expression mathématique s’établit à :

Le tracé de ce courant sur le premier chronogramme se superpose harmonieusement avec l’onde de tension d’entrée, confirmant le comportement purement résistif de l’ensemble pont-charge perçu depuis le réseau alternatif.

4. Calculs Analytiques des Valeurs Moyennes de Sortie

La valeur moyenne d’un signal électrique périodique correspond à sa composante continue (la composante de fréquence nulle dans la décomposition en série de Fourier), qui dicte le transfert de puissance utile vers les récepteurs à courant continu. Pour la tension redressée double alternance, l’opération de redressement modifie la symétrie du signal, réduisant la période fondamentale de la fonction de $T$ à $\frac{T}{2}$.

Le calcul rigoureux s’opère par l’intégration de la fonction sur une période fondamentale. En substituant la variable temporelle par la variable angulaire $\theta = \omega t$, l’intégration s’effectue sur l’intervalle $[0, \pi]$ :

La résolution de cette intégrale définie passe par la recherche de la primitive de la fonction sinus, qui est la fonction opposée du cosinus :

Sachant que $\cos(\pi) = -1$ et $\cos(0) = 1$, l’évaluation de la parenthèse donne $(1 – (-1)) = 2$. L’expression littérale exacte de la tension moyenne en sortie d’un pont de Graëtz idéal devient :

En substituant les grandeurs numériques spécifiques au transformateur étudié ($V_{max} = 33,94 \text{ V}$) :

Pour le courant, la linéarité inhérente au circuit résistif autorise la transposition directe de la loi d’Ohm aux valeurs moyennes, simplifiant l’analyse sans nécessiter une nouvelle intégration :

5. Évaluation du Facteur d’Ondulation de la Tension

La qualité de la tension continue produite par un redresseur est évaluée par le biais du facteur d’ondulation, noté $F_d$ ou $\tau$. Ce paramètre adimensionnel quantifie l’amplitude des variations (ou pulsations) du signal instantané autour de sa valeur moyenne, par rapport à l’amplitude de cette même valeur moyenne. Une définition couramment admise dans la littérature académique exprime ce facteur comme le rapport entre la demi-amplitude de l’ondulation crête-à-crête ($\Delta V_s / 2$) et la valeur moyenne :

L’ondulation crête-à-crête, notée $\Delta V_s$, correspond à la différence arithmétique entre la valeur maximale absolue atteinte par la tension de sortie ($V_{s,max}$) et sa valeur minimale ($V_{s,min}$). L’observation du chronogramme des arches de sinusoïdes révèle que la tension chute périodiquement jusqu’à zéro. Ainsi, $V_{s,min} = 0 \text{ V}$ et $V_{s,max} = 33,94 \text{ V}$. L’ondulation crête-à-crête est donc égale à l’amplitude maximale du réseau : $\Delta V_s = 33,94 \text{ V}$.

L’application numérique pour le calcul du facteur d’ondulation donne :

Exprimé en pourcentage, le facteur d’ondulation s’élève à environ $78,5\%$. Ce taux particulièrement élevé est inhérent à la structure topologique PD2 fonctionnant sans éléments de stockage d’énergie.

6. Analyse du Facteur de Puissance du Circuit

Le facteur de puissance, couramment noté $FP$ ou $k$ en électronique de puissance, est l’indice de performance majeur traduisant l’efficacité avec laquelle un convertisseur absorbe et utilise la puissance apparente fournie par la source. Il est défini universellement par le rapport de la puissance active (réelle, en Watts) sur la puissance apparente (en Volt-Ampères) :

L’analyse de la section 3 a démontré que, sur une charge purement résistive et en présence de diodes idéales, le courant d’entrée $i_e(t)$ absorbé au niveau du transformateur est une sinusoïde parfaite, non déformée, et strictement en phase avec la tension d’alimentation $V_e(t)$. L’absence de déphasage angulaire entre le fondamental du courant et de la tension (impliquant $\cos(\varphi) = 1$) assure que l’intégralité de la puissance apparente est convertie en puissance active.

Par conséquent, la valeur théorique du facteur de puissance vu de la sortie du transformateur est unitaire :

Ce résultat indique que le dimensionnement des câbles et du transformateur peut être optimisé sans surdimensionnement lié à l’énergie réactive ou déformante.

7. Introduction des Imperfections : Modélisation des Diodes Réelles

L’étude des circuits en électronique de puissance exige, dans une phase de conception détaillée, la transition vers des modèles de composants réels. Dans la réalité physique de la physique des semi-conducteurs, une jonction PN nécessite le franchissement d’une barrière de potentiel pour autoriser le passage massif des porteurs de charge. Le problème stipule que, compte tenu du niveau de courant transitant par la charge, les diodes sont principalement modélisées par leur tension maximale à l’état passant, fixée ici à $V_f = 0,9 \text{ V}$.

La structure du pont de Graëtz impose que le chemin de circulation du courant traverse invariablement deux diodes montées en série, quelle que soit la polarité de l’alternance en cours (soit la paire $D_1-D_4$, soit la paire $D_2-D_3$). En conséquence, la chute de tension interne totale imputable à l’étage de conversion est systématiquement égale à $2V_f$, soit $1,8 \text{ V}$.

La nouvelle expression mathématique régissant la tension de sortie intègre cette soustraction, conditionnée par l’état d’amorçage des jonctions :

Lorsque la valeur absolue de la tension de source est strictement inférieure à la barrière de potentiel de $1,8 \text{ V}$, l’énergie de la source est insuffisante pour forcer la mise en conduction simultanée des deux jonctions. Toutes les diodes du pont demeurent à l’état bloqué, constituant un circuit ouvert. Durant ces intervalles temporels, baptisés « zones mortes » ou « zones d’empiètement temporel mort », la tension aux bornes de la charge s’annule : $V_{s,reel}(t) = 0 \text{ V}$.

8. Détermination Analytique et Méthode d’Approximation des Chutes de Tension

La résolution mathématique exacte des nouvelles valeurs moyennes imposerait de recalculer l’intégrale de Fourier en tenant compte des nouvelles bornes d’intégration induites par le retard à l’amorçage. L’angle d’amorçage électrique, noté $\theta_0$, correspond au point où $V_{max} \sin(\theta_0) = 2V_f$, d’où $\theta_0 = \arcsin(\frac{1,8}{33,94}) \approx 0,053 \text{ rad}$ (soit environ $3^{\circ}$). L’intégration de la fonction modifiée se ferait sur l’intervalle restreint $[\theta_0, \pi – \theta_0]$.

Toutefois, la zone morte s’étendant sur environ $3^{\circ}$ face aux $180^{\circ}$ d’une demi-période est extrêmement ténue. La littérature de l’ingénierie propose une méthode simple et robuste pour approximer cette chute de tension sans recourir au calcul intégral complexe. La démarche postule que l’aire retranchée par la zone morte est négligeable, et que la diminution de l’aire globale est majoritairement due à l’abaissement constant du plafond de la courbe de $2V_f$.

La méthode consiste à soustraire algébriquement la chute de tension cumulée des semi-conducteurs passants de la valeur moyenne idéale préalablement établie :

9. Évaluation des Pertes par Conduction et du Rendement Global

L’énergie dissipée thermiquement au sein des composants actifs constitue une contrainte critique régissant le dimensionnement de l’évacuation thermique (dissipateurs, ventilation) des convertisseurs de puissance. En régime basses fréquences, les pertes par commutation (dues au temps de recouvrement inverse lors du blocage) sont mineures face aux pertes par conduction. La puissance moyenne dissipée par conduction dans un composant polarisé est dictée par la chute de tension à l’état passant et la valeur moyenne du courant qui le traverse.

L’énoncé suggère d’assimiler la durée de conduction de chaque diode à une demi-période entière, validant l’approximation discutée précédemment. Durant cette demi-période d’activité, une diode laisse transiter la totalité du courant de charge, tandis qu’elle ne véhicule aucun courant durant la demi-période suivante. Le courant moyen traversant une seule diode, sur une période complète du réseau, équivaut donc à la moitié du courant moyen de sortie :

La puissance de pertes engendrée par une unique diode se formule par le produit de la tension $V_f$ et du courant moyen :

Puisque l’architecture PD2 comporte quatre diodes identiques, les pertes totales générées s’élèvent à la somme des contributions individuelles :

La puissance utile moyenne (composante continue) transférée à la charge résistive peut être approchée par le produit des valeurs moyennes :

Le rendement de l’étage de semi-conducteurs s’établit à :

Ce résultat indique un rendement approché de $91,6\%$.

10. Synthèse et Commentaire sur la Topologie PD2 Résistive

L’analyse holistique de ces résultats met en lumière les avantages et les inconvénients inhérents au redressement non commandé de type PD2 débitant sur un réseau de résistances pures.

Les avantages indéniables de ce type de montage sont sa simplicité de conception, son faible coût de déploiement (composants passifs standards), et son exceptionnelle compatibilité électromagnétique avec le réseau de distribution. L’absence d’éléments de filtrage induisant des déphasages garantit un facteur de puissance unitaire, ce qui exempte l’ingénieur de l’implémentation de corrections du facteur de puissance (PFC). De plus, le rendement, même avec des chutes de tension significatives ($V_f = 0,9 \text{ V}$), excède les 90%, témoignant d’une robustesse énergétique notable pour la conversion.

En revanche, les inconvénients disqualifient cette architecture pour la majorité des applications en électronique moderne. Le handicap majeur réside dans la morphologie fortement ondulée des grandeurs de sortie. Un taux d’ondulation avoisinant les 80% génère un apport d’énergie par pulsations, incompatible avec des charges exigeant une alimentation stabilisée (microprocesseurs, capteurs). En l’absence de composants de stockage d’énergie, la continuité de service instantanée n’est pas assurée, ce qui justifie la transition de l’étude vers des charges de nature inductive et capacitive.